Szkoła średnia

  axplusb.pl Szkoła podstawowa

Matematyka Fizyka Egzamin 8-klasisty

Szkoła
średnia

Matematyka Matura z matematyki Fizyka Matura z fizyki

Studia Animacje O mnie Kontakt

        menu

axplusb.pl Szkoła podstawowa

∙ Matematyka ∙ Fizyka ∙ Egzamin 8-klasisty

Szkoła średnia

∙ Matematyka ∙ Matura z matematyki ∙ Fizyka ∙ Matura z fizyki

Studia Animacje O mnie Kontakt

      Matematyka

• + I. Liczby rzeczywiste.
  • 1. Działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych.
  • 2. Proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:
    a) Dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych.
    b) Dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej.
  • 3. Własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych.
  • 4. Związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach.
  • 5. Monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli \( x < y \) oraz \( a > 1 \), to \(a^x < a^y\), zaś gdy \(x < y\) i \(0 < a < 1\), to \( a^x > a^y \).
  • 6. Pojęcie przedziału liczbowego, zaznaczanie przedziałów na osi liczbowej.
  • 7. Interpretacja geometryczna i algebraiczna wartości bezwzględnej, rozwiązywanie równań typu: \(|x+4|=5\).
  • 8. Własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów.
  • 9. Związek logarytmowania z potęgowaniem, posługiwanie się wzorami na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Stosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

• + II. Wyrażenia algebraiczne.
  • 1. Stosowanie wzorów skróconego mnożenia na: \( (a+b)^2 \), \( (a-b)^2 \), \( a^2-b^2 \).
  • 2. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów jednej i wielu zmiennych.
  • 3. Wyłączanie poza nawias jednomianu z sumy algebraicznej.
  • 4. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Dzielenie wielomianu jednej zmiennej \( W(x) \) przez dwumian postaci \( x-a \).

  • 2. Rozkład wielomianów na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów.
  • 3. Znajdowanie pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych.
  • 4. Stosowanie podstawowych własności trójkąta Pascala oraz następujących własności współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona):
    \( {n\choose 0}=1 \), \( {n\choose 1}=n \), \( {n\choose {n -1}}=n \), \( {n\choose k}= {n\choose {n-k}} \), \( {n\choose k}+{n\choose {k+1}}= {{n+1}\choose {k+1}}\).
  • 5. Korzystanie ze wzorów na \( a^3 + b^3 \), \( a^3 - b^3 \), \( a^n - b^n\), \( (a+b)^n \) i \( (a-b)^n \).
  • 6. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych, np.:
    \( \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\), \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}\), \( \frac{x+1}{x+2} + \frac{x-1}{x+1}\).
• + III. Równania i nierówności.
  • 1. Przekształcanie równań i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształcenie równoważne równania \( \frac{5}{x+1} = \frac{x+3}{2x-1}\).
  • 2. Interpretowanie równań i nierówności liniowych sprzecznych oraz tożsamościowych.
  • 3. Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą.
  • 4. Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych.
  • 5. Rozwiązywanie równań wielomianowych postaci \( W(x) = 0 \) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Rozwiązywanie równań wielomianowych postaci \( W(x) = 0 \) oraz nierówności wielomianowych typu: \( W(x) > 0 \), \( W(x) \geq 0 \), \( W(x) < 0 \), \( W(x) \leq 0 \) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.

  • 2. Rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych, które dadzą się sprowadzić do równania lub nierówności liniowej lub kwadratowej.
  • 3. Stosowanie wzorów Viète’a dla równań kwadratowych.
  • 4. Rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną.
  • 5. Analizowanie równań i nierówności liniowych z parametrami oraz równań i nierówności kwadratowych z parametrami, w szczególności: wyznaczanie liczby rozwiązań w zależności od parametrów, podawanie warunków, przy których rozwiązania mają określone znaki bądź należą do określonego przedziału, wyznaczanie rozwiązania w zależności od parametrów.
  • 6. Rozwiązywanie równań wielomianowych, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe.
  • 7. Rozwiązywanie równań wymiernych postaci \(V(x)/W(x)=0\), gdzie wielomiany \(V(x)\) i \(W(x)\) są zapisane w postaci iloczynowej.
• + IV. Układy równań.
  • 1. Rozwiązywanie układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podawanie interpretacji geometrycznej układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.
  • 2. Stosowanie układów równań do rozwiązywania zadań tekstowych
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Rozwiązywanie układów równań liniowych i kwadratowych z dwiema niewiadomymi, które można sprowadzić do równania kwadratowego lub liniowego, a które nie są trudniejsze niż
    \( \begin{cases} x^2 +y^2 + ax + by = c \\ x^2 + y^2 + dx + ey = f. \end{cases}\)

• + V. Funkcje.
  • 1. Umiejętność określenia funkcji jako jednoznacznego przyporządkowania za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach).
  • 2. Obliczanie wartości funkcji zadanej wzorem algebraicznym.
  • 3. Odczytywanie i interpretacja wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie.
  • 4. Odczytywanie z wykresu funkcji: dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.
  • 5. Interpretacja współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej.
  • 6. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach.
  • 7. Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej zadanej wzorem.
  • 8. Interpretacja współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje).
  • 9. Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie.
  • 10. Wyznaczanie największej i najmniejszej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
  • 11. Wykorzystywanie własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym.
  • 12. Szkicowanie wykresu funkcji \(y=f(x-a)\), \(y=f(x)+b\) na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\).
  • 13. Posługiwanie się funkcją \(f(x)=\frac{a}{x}\), w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych.
  • 14. Posługiwanie się funkcjami wykładniczymi i logarytmicznymi, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Rysowanie wykresu funkcji \(y=-f(x)\), \(y=f(-x)\) na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\).

  • 2. Posługiwanie się złożeniami funkcji.
  • 3. Dowodzenie monotoniczności funkcji zadanej wzorem, jak w przykładzie: wykaż, że funkcja \(f(x)=\frac{x-1}{x+2}\) jest monotoniczna w przedziale \((-\infty, -2)\).
• + VI. Ciągi.
  • 1. Obliczanie wyrazu ciągu określonego wzorem ogólnym.
  • 2. Obliczanie początkowych wyrazów ciągów określonych rekurencyjnie.
  • 3. Badanie, czy ciąg jest rosnący, czy malejący (dla prostych przypadków).
  • 4. Sprawdzanie, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.
  • 5. Stosowanie wzoru na n–ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
  • 6. Stosowanie wzoru na n–ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
  • 7. Wykorzystywanie własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Obliczanie granic ciągów, korzystając z granic ciągów typu \(\frac{1}{n}\), \(a^{1/n}\) oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach.

  • 2. Rozpoznawanie zbieżnych szeregów geometrycznych i obliczanie ich sumy.
• + VII. Trygonometria.
  • 1. Wykorzystywanie definicji funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°.
  • 2. Korzystanie ze wzorów: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
  • 3. Stosowanie twierdzenia cosinusów oraz wzoru na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma\).
  • 4. Obliczanie kątów trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązywanie trójkątów prostokątnych, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Stosowanie miary łukowej, zamiana stopni na radiany i odwrotnie.

  • 2. Posługiwanie się wykresami funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens.
  • 3. Wykorzystywanie okresowość funkcji trygonometrycznych.
  • 4. Stosowanie wzorów redukcyjnych dla funkcji trygonometrycznych.
  • 5. Korzystanie ze wzorów na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów, a także na funkcje trygonometryczne kątów podwojonych.
  • 6. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
  • 7. Stosowanie twierdzenia sinusów.
  • 8. Obliczanie kątów trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązywanie trójkątów).
• + VIII. Planimetria.
  • 1. Wyznaczanie promieni i średnic okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.
  • 2. Rozpoznawanie trójkątów ostrokątnych, prostokątnych i rozwartokątnych przy danych długościach boków (m.in. stosowanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia cosinusów); stosowanie twierdzenia: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok.
  • 3. Rozpoznawanie wielokątów foremnych i korzystanie z ich podstawowych własności.
  • 4. Korzystanie z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach.
  • 5. Stosowanie własności kątów wpisanych i środkowych.
  • 6. Stosowanie wzorów na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.
  • 7. Stosowanie twierdzenia Talesa.
  • 8. Korzystanie z cech podobieństwa trójkątów.
  • 9. Wykorzystywanie zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych.
  • 10. Wskazywanie podstawowych punktów szczególnych w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzystanie z ich własności.
  • 11. Przeprowadzanie dowodów geometrycznych.
  • 12. Stosowanie funkcji trygonometrycznych do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Stosowanie własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.

  • 2. Stosowanie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa.
• + IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
  • 1. Rozpoznawanie wzajemnych położeń prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajdowanie wspólnego punktu dwóch prostych, jeśli taki istnieje.
  • 2. Posługiwanie się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznaczanie równania prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej).
  • 3. Obliczanie odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
  • 4. Posługiwanie się równaniem okręgu \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
  • 5. Wyznaczanie obrazów okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Znajdowanie punktów wspólnych prostej i okręgu.

  • 2. Znajdowanie punktów wspólnych dwóch okręgów.
  • 3. Znajomość pojęcia wektora i obliczanie jego współrzędnych oraz długości, dodawanie wektorów i mnożenie wektora przez liczbę, wykonywanie obu tych działań zarówno analitycznie, jak i geometrycznie.
  • 4. Wyznaczanie równania prostej prostopadłej do zadanej prostej i prostej stycznej do zadanego okręgu.
• + X. Stereometria.
  • 1. Rozpoznawanie wzajemnego położenia prostych w przestrzeni, w szczególności prostych prostopadłych nieprzecinających się.
  • 2. Posługiwanie się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami.
  • 3. Rozpoznawanie w graniastosłupach i ostrosłupach kątów między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kątów między ścianami, obliczanie miar tych kątów.
  • 4. Rozpoznawanie w walcach i w stożkach kąta między odcinkami oraz kąta między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), obliczanie miary tych kątów.
  • 5. Obliczanie objętości i pól powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii.
  • 6. Wykorzystywanie zależność między objętościami brył podobnych.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Znajomość i umiejętność stosowania twierdzenia o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych.

  • 2. Wyznaczanie przekrojów sześcianu i ostrosłupów prawidłowych oraz obliczanie ich pól, także z wykorzystaniem trygonometrii.
• + XI. Kombinatoryka.
  • 1. Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych.
  • 2. Zliczanie obiektów, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:
    a) Obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2.
    b) Obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Obliczanie liczby możliwych sytuacji, spełniających określone kryteria, z wykorzystaniem reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz wzorów na liczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.

  • 2. Stosowanie współczynnika dwumianowego (symbol Newtona) i jego własności przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.
• + XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
  • 1. Obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym.
  • 2. Obliczanie średniej arytmetycznej i średniej ważonej, znajdowanie mediany i dominanty.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Obliczanie prawdopodobieństwa warunkowego i stosowanie wzoru Bayesa, stosowanie twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.

  • 2. Stosowanie schematu Bernoulliego.
• + XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy.
  • 1. Rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Obliczanie granic funkcji (w tym jednostronnych).

  • 2. Stosowanie własności Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji.
  • 3. Stosowanie definicji pochodnej funkcji, znajomość interpretacji geometrycznej i fizycznej pochodnej.
  • 4. Obliczanie pochodnej funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz obliczanie pochodnej, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej.
  • 5. Stosowanie pochodnej do badania monotoniczności funkcji,
  • 6. Rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z zastosowaniem pochodnej.
• + Twierdzenia i dowody.
  • 1. Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych.
  • 2. Niewymierność liczb: \(\sqrt{2}\), \( \log_2 5\) itp.
  • 3. Wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego.
  • 4. Podstawowe własności potęg (o wykładnikach całkowitych i wymiernych) i logarytmów.
  • 5. Wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
  • 6. Twierdzenie o kątach w okręgu:
    a) Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku. b) Jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg, to są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach.
  • 7. Twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym. Jeśli odcinek \(CD\) jest wysokością trójkąta prostokątnego \(ABD\) o kącie prostym \(ACB\), to \(|AD|\cdot |BD|=|CD|^2\), \(|AC|^2=|AB|\cdot |AD|\), oraz \(|BC|^2=|AB|\cdot |BD|\).
  • 8. Twierdzenie o dwusiecznej. Jeśli prosta \(CD\) jest dwusieczną kąta \(ACB\) w trójkącie \(ABC\) i punkt \(D\) leży na boku \(AB\), to \(\frac{|AD|}{|BD|}=\frac{|AC|}{|BC|}.\)
  • 9. Wzór na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma\).
  • 10. Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
  • +Zakres rozszerzony:
    

    1. Dowód kombinatoryczny tożsamości: jeśli \( 0 < k < n \), to \( {n \choose k} = {{n-1} \choose {k-1}} + {{n-1} \choose {k}} \).

  • 2. Wzór dwumianowy Newtona. Wzory skróconego mnożenia na \(a^n \pm b^n \) (przy odpowiednich założeniach o n) oraz jako wniosek: dla liczb całkowitych a i b, \( (a-b) | (a^n -b^n) \).
  • 3. Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci \( x-a \) wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę (algorytm Hornera) – dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla wielomianu czwartego stopnia.
  • 4. Wzory Viète’a.
  • 5. Wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów.
  • 6. Twierdzenie sinusów.
  • 7. Twierdzenia o istnieniu niektórych punktów szczególnych trójkąta:
    a) Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i (jako wniosek) proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
    b) Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
  • 8. Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg. Czworokąt wypukły ABCD można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy \(|\angle BAD| + |\angle BCD| = |\angle ABC| + |\angle ADC| = 180^{\circ}\).
  • 9. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu. W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy \(|AB|+|CD|=|AD|+|BC|\).
  • 10. Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny. Dane są proste k, l i m leżące na jednej płaszczyźnie. Jeśli proste k i l mają dokładnie jeden punkt wspólny i prosta n jest do nich prostopadła, to prosta n jest także prostopadła do prostej m.
  • 11. Twierdzenie o trzech prostopadłych. Prosta k przecina płaszczyznę P i nie jest do niej prostopadła. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę P. Prosta m leży na płaszczyźnie P. Wówczas proste k i m są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy proste l i m są prostopadłe.